La proporción áurea

Eduardo Montagut

El número de oro o proporción áurea es un concepto matemático que ha sido conocido en la Historia también como sección áurea, número dorado, razón dorada o divina proporción. Se representa como Phi igual a 1,618034 en honor a Fidias, gracias al matemático Mark Barr en 1900. Sin lugar a dudas, compite con el número “Pi” en sus aplicaciones. No se trataría de una unidad sino una relación o proporción.

La proporción áurea se obtiene al dividir un segmento en dos partes, de forma que la longitud de la parte menor sea a la de la mayor como ésta a la longitud total del segmento dado. La proporción áurea se puede construir con sólo dos términos distintos. La parte menor es segmento áureo de la mayor, y la mayor lo es del segmento inicial.

La proporción áurea es la cantidad inconmensurable resultante del cociente entre la longitud del segmento dado y la de su segmento áureo. Ésta última se obtiene geométricamente dibujando un triángulo rectángulo que tenga por catetos el segmento dado y su mitad, y restando a la hipotenusa el cateto anterior.

La proporción áurea es la única proporción continua en tres términos, es decir, la relación proporcional de tres cantidades, de las que una es el término medio, de la forma a/b igual b/c. En la proporción áurea, a sería la longitud del segmento dado, b la de su segmento áureo, y c la de su parte menor. El segmento y sus dos partes son tres que son dos, que son uno, un símbolo de una diferenciación entre la unidad percibida como objeto y el perceptor de dicho objeto contenidos ambos en el reconocimiento de una Unidad omnicomprensiva.

Para los pitagóricos el número de oro era la belleza inteligible de la Mónada, el Gran Arquitecto en su acción sobre la materia caótica, plasmando en ella las ideas de la simetría, el orden, el equilibrio y, por supuesto, la belleza. En este sentido, la proporción áurea es el fundamento del canon estético de nuestra civilización.

Para algunos autores la proporción áurea ya apareció en las civilizaciones fluviales de Mesopotamia, en estelas babilónicas y asirias, pero eso no significa que sus autores fueran conscientes de que estaban empleando el número áureo. No se han encontrado fuentes históricas o arqueológicas que lo demuestren.

El primero que estudió el número áureo fue Euclides, que vivió en el siglo III a.C. A él le debemos la primera definición del mismo en su obra Los Elementos: «Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor». Además, explicó que se trataba de un número irracional. También habría que aludir a Platón que, como bien sabemos, vivió antes que Euclides, a la hora de tratar de los orígenes conscientes de la proporción áurea, pero existe cierta polémica al respecto.

En la Edad Media, el matemático Leonardo de Pisa, famoso por difundir en Europa el sistema numérico índico-arábigo, ideó la sucesión de Fibonacci, un concepto matemático muy relacionado con el número áureo. Se trata de una secuencia infinita de números, en la cual la suma de cualquier par da como resultado el número siguiente: 0, 1, 1,2,3,5,8,13… Pues bien, si se divide cualquier número de la sucesión por el que lo precede da un resultado que se aproxima al número áureo.

La calificación de divino que se ha dado al número áureo llegó con el Renacimiento. Luca Pacioli, un fraile y matemático toscano fundamental por ser el precursor del cálculo de probabilidades, planteó a principios del siglo XVI hasta cinco razones para demostrar la divinidad del número áureo. En primer lugar, era único, comparándolo con la unicidad de Dios. En segundo lugar, también se podía asociar a Dios como Santísima Trinidad, ya que se definía a través de tres segmentos o partes de la recta. La inconmensurabilidad del número era la tercera razón, asociándolo a la misma propiedad divina. El número tenía la propiedad de la autosimilaridad. Esta propiedad significa que el todo es exacta o aproximadamente similar a una parte de si mismo. Pacioli lo asimilaba a la omnipresencia de Dios. Por fin, la quinta razón que hace divino al número áureo tiene que ver con que, al igual que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro, el número áureo creó el dodecaedro.

El gran impulsor del número áureo llegaría unos pocos años después. Estamos hablando del pintor y grabador alemán Albert Durero que, en 1525 publicó Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas. En el texto explica como trazar la espiral áurea, que se basa en la sección áurea, la conocida como la Espiral de Durero, fundamental en la Historia del Arte.

A Kepler, ya en el siglo XVII, le debemos una nueva calificación de la proporción áurea. Consideraba que era una “joya preciosa”, equiparable al Teorema de Pitágoras, una “medida de plata”, como dos tesoros inigualables de la Geometría.

Ya en la época contemporánea hay que aludir al matemático alemán Martin Ohm porque en una de las ediciones de Las Matemáticas puras elementales (1835) alude a la sección áurea.

El número áureo está presente en la Naturaleza. Sabemos que se aplica en la Botánica, en los pétalos de las flores, en la distribución de las hojas en un tallo, y hasta en las nervaduras de las hojas de los árboles. También en las espirales de una piña. En Zoología estaría la relación entre las espirales del caracol y del cefalópodo Nautilus, y se pueden poner muchos más ejemplos.

En la Arquitectura y el Arte la proporción áurea se asocia a la belleza en nuestra civilización. Algún autor afirma que lo que más se acerca matemáticamente al número Phi, se percibe como más bello o perfecto. Pero es indudable que este es el punto más polémico en relación con la proporción áurea, ya que, el concepto de belleza no parece que sea único en la compleja y larga Historia del Arte, sin olvidar que las representaciones artísticas no siempre han buscado el ideal de belleza sino otros objetivos, como los religiosos, por ejemplo. En este sentido, conviene adoptar una postura crítica o, al menos, no dogmática a la hora de vincular belleza con proporción áurea.

Al parecer, la proporción áurea podría rastrearse en la construcción de la Pirámide Gizeh según una posible interpretación de Heródoto, pero es más evidente den la construcción del Partenón en Atenas, en la relación entre las partes, el techo y las columnas, en el siglo V en la Acrópolis. Los grandes maestros del Renacimiento emplearon la proporción áurea: Leonardo, Miguel Ángel y Durero. También estaría en el cuadro de “Leda Atómica” de Dalí. En la Música, Mozart empleó el número áureo en la estructura de sus Sonatas, también está en la Quinta Sinfonía de Beethoven, y en algunas obras de Schubert y Debussy. Parece que encuentra en la estructuración de las películas de Eisenstein, “El acorazado Potemkin” y en “Iván el terrible”. En fin, es fácil hallar la proporción áurea en nuestra vida cotidiana, en construcciones, tarjetas de crédito, en miles de objetos.

La proporción áurea puede ser considerada un símbolo para los masones en relación con lo que deben hacer en sus talleres y fuera de la logia, en su trabajo interior y en su dimensión operativa.